[討論] 問一個數學（邏輯？）問題...

kwang

以前聽過一個很玄的問題，但是一直沒聽過解答。
問題是這樣的：

A---------------C-------D---E-F-B
假設由A射一枝箭至B點，箭尖一定會通過AB中點C。
再來，箭尖一定會通過CB中點D
再來，箭尖一定會通過DB中點E
再來，箭尖一定會通過EB中點F
...

這樣一直微分下去，箭尖永遠會通過任一點與B的中點，這樣不就永遠沒有到達B點的一天？
B)

lepicier

當箭到達B點時不就碰到了嗎..

tsai2824

時間沒有算進去就會這樣！

platypus1

這個問題好像：
甲從A地向B地移動，第一次移動距離是AB兩地之一半。
之後每次移動的距離是上次移動距離的一半。
邏輯上好像也是沒有到達地的一天。

sgon

設A至B的距離為X
CB = 1/2 AB = 1/2 X  
DB = 1/2 CB = 1/4 AB = 1/4 X
EB = 1/2 DB = 1/4 CB = 1/8 AB = 1/8 X
........ N 趨近於無窮大時
(Z表任一點) ZB = (1/2)N次方 * X = 0 * X = 0
即 ZB 距離為 0 ==> 到達B點

-------------------------------------------------------------------
不曉得對不對, 我是將問題倒過來想

Originally posted by kwang at 2005-5-6 10:51 PM:
以前聽過一個很玄的問題，但是一直沒聽過解答。
問題是這樣的：

A---------------C-------D---E-F-B
假設由A射一枝箭至B點，箭尖一定會通過AB中點C。
再來，箭尖一定會通過CB中點D
再來，箭尖一定會通過DB中點E
再來，箭尖一定會通過EB中點F
...

這樣一直微分下去，箭尖永遠會通過任一點與B的中點，這樣不就永遠沒有到達B點的一天？
B)

teachis

這個即是哲學上的芝諾悖論，大家可以用孤狗搜看看。
也可以參考下列連結。
http://www.wlck.com/ReadNews.asp?NewsID=1209

bartslin

這個問題的版本之一，
應該就是用弓箭射蘋果，卻永遠射不到蘋果吧？

其實邏輯很簡單啦。
以箭能飛的最大距離 ( A B ) 來說，
蘋果並非位於 B 點，而是中間的某一點啦。

若你老是以「蘋果在 B 點」 (箭能飛行的最遠距離) 這種邏輯方式來思考，
當然一輩子都射不到蘋果了…。

[ Last edited by bartslin on 2005-5-6 at 23:20 ]

jjsaa

當射出該箭的力量一定會將該箭尖射到B點時，

不論是那些點的 中點。

或是 A B 間之無限多點。(比各中點還多很多)

箭尖一定會通過它們。

poky

這應該算是"極限"的問題吧
就跟1/2 + 1/4 + 1/8 +  1/16.....1/∞
永遠都不會等於1，只會趨近於1而已

palmislife_cat

如果把箭換成小明
B點換成小張
那小明和小張能不能見到面呀??

聽說數學重在定義問題~~~沒定義好容易走進死胡同!!
因為數學是為解開謎題~~~不是為了解決問題!!!

jamespalm

Originally posted by PandaTsai at 2005-5-6 11:55 PM:


這就是有名的 [Zeno詭論], 幾乎講極限或無窮等比數列的書都會提到...

在極限理論還沒有建構完成時, [Zeno詭論] 的確是個無解的問題, 但是當極限理論建構完成後, 這個詭論就不再是問題了, 現在的高一課本就會提到, 當 n 趨近於無限大時, 1/n 會等於 0, 就解決這個問題了...

換句話說, 一張紙對摺對摺再對摺, 一直摺下去, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16.....最後會等於多少?? 極限理論說, 只要摺無限多次, 數學上就會等於 0, 令人驚訝嗎?? 其實也不, 反正摺 [無限多次] 也沒人辦得到...

高一的學生應該能算出 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +..... = 2, 這是無窮等比級數的公式, 您的問題其實還要加上時間才完整, 比如說, 箭由  A 到 B 要 2 秒, 可是 A 到 C 要 1 秒, C 到 D 要 1/2 秒, D 到 E 要 1/4 秒...., 依此類推, 由於長度不會變成 0, 所以時間也不會, 令人混淆的地方在於: 因為時間永遠不會變成 0, 所以 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 +..... 加無限多項的結果似乎會變成無限大, 於是箭永遠射不到 B, 可是數學的極限理論說當進行無現多次後長度會變 0, 時間也會, 而且無窮等比級數的公式告訴我們時間總合果然也是 2 秒.

抱歉, 小弟恰好是高中數學老師, 路過此地多言了幾句...

記得在一部電影中看過這個情節 :
男主角是一個名數學家，一直苦於追不到女主角，一天他對女主角描述他們之前的距離，就像這個理論一樣，一直存在距離，說著說著男主角就1, 1/2 , 1/4 , 1/8 ... 縮短著跟女主角之間的距離走向她，當兩人的距離越來越近時，女主角突然伸出手抱住男主角，然後在男主角的耳邊輕聲的說 : "你覺得我們現在還有距離嗎?"

所以只要堅持到最後，目標就有可能達成。

[ Last edited by jamespalm on 2005-5-7 at 00:56 ]

jaggie1976

1/2的n次方

分母趨近於無窮大

距離趨近於0，到達不了B

不過距離會比奈米還奈米...

lcm3647

巨觀的世界中碰在一起的兩個物體
從微觀的世界看也是有距離的吧!
分子之間也是有距離的啊!!

mfhsieh

這不只是希臘人提出的悖論。中國也有相同的觀念：
莊子：一尺之錘, 日取其半, 百世不竭。

--

不過顯然在莊子的物質觀裏面，是沒有粒子的存在。

kwang

Originally posted by bartslin at 2005-5-6 23:17:
這個問題的版本之一，
應該就是用弓箭射蘋果，卻永遠射不到蘋果吧？

其實邏輯很簡單啦。
以箭能飛的最大距離 ( A B ) 來說，
蘋果並非位於 B 點，而是中間的某一點啦。

若你老是以「蘋果在 B 點」 (箭能飛行的最遠距離) 這種邏輯方式來思考，
當然一輩子都射不到蘋果了…。

[ Last edited by bartslin on 2005-5-6 at 23:20 ]

霸子... 其實如果把B點之後再加一點Z，當作是距離終點，其實也是一樣，因為可以講成在到達Z點前，必會通過AZ間一點B，皆下來又是無限迴圈了...

不過可能用極限理論這個觀點來解釋，我想這題比較講得通，至少我自己比較能接受啦！

kwang

Originally posted by mfhsieh at 2005-5-7 09:40:
這不只是希臘人提出的悖論。中國也有相同的觀念：
莊子：一尺之錘, 日取其半, 百世不竭。

中國老祖宗的智慧還是宇宙無敵的啊！
不過現在比較少看到這種奇筢(?)了？

kwang

Originally posted by PandaTsai at 2005-5-6 23:55:
這就是有名的 [Zeno詭論], 幾乎講極限或無窮等比數列的書都會提到...

剛回完上面霸子的文，又想到一個問題，如果不要講說箭尖會到達B，而是說箭尖會「通過」B，這樣用箭尖與B點距離趨近於0，似乎又無法解釋，因為箭尖事實上會「通過」B，而到達夠遠的地方。

弟好像又陷入了另一個迴圈... 請各位原諒數學白癡的我...

小酒蟲

「通過」表示「到達後繼續前進」而已。

mfhsieh

Originally posted by kwang at 2005-5-7 10:48:
剛回完上面霸子的文，又想到一個問題，如果不要講說箭尖會到達B，而是說箭尖會「通過」B，這樣用箭尖與B點距離趨近於0，似乎又無法解釋，因為箭尖事實上會「通過」B，而到達夠遠的地方。

到達 B 點的時間會收斂在某個時間，如果你要算到達 B 後 1m 的地方，它到達的時間，也會收斂在某個時間點上。

jamespalm

Originally posted by jamespalm at 2005-5-7 12:47 AM: 記得在一部電影中看過這個情節 : [ Last edited by jamespalm on 2005-5-7 at 00:56 ]

如果沒記錯的話，應該是這一部電影。
<table cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" border="0"><tbody><tr><td class="itemtitlecd" bgcolor="#ffffff" height="17">愛神有約VCD</td></tr><tr><td class="itemoringine" bgcolor="#ffffff" height="20"><b>I.Q.</b></td></tr><tr><td class="itemtext" bgcolor="#ffffff" height="20"><img height="12" src="http://addons.books.com.tw/G/img2000/free.gif" width="10" align="top" border="0" /></td></tr><tr><td class="itemtext" bgcolor="#ffffff" height="20"><table cellspacing="0" cellpadding="0" width="100%" border="0"><tbody><tr><td class="itemtext" width="14%" height="11"><font color="#006699">主演：</font></td><td class="linkdvd" width="86%" height="11"><a href="http://www.books.com.tw/exep/prod/dvd/dvdpeople.php?id=P000009956">提姆羅賓斯</a>、<a href="http://www.books.com.tw/exep/prod/dvd/dvdpeople.php?id=P000010277">梅格萊恩</a></td></tr></tbody></table></td></tr><tr><td class="itemtext" bgcolor="#ffffff"><span class="linkdvd"><font color="#006699">發行日期：</font></span>2003 年 11 月 11 日</td></tr></tbody></table>
內容簡介  

  永遠的美國甜心梅格萊恩及【超級大玩家】坎城影帝提姆羅賓斯共同主演。【愛神有約】是一部溫馨有趣的浪漫喜劇電影。影片描述愛因斯坦的姪女凱瑟琳與自大的心理學家訂婚，愛因斯坦老是看不順眼這個未婚夫，而欲將其與老實的修車工人送作堆，愛因斯坦如何使出渾身解術成全這一段姻緣...。

導演【暗夜哭聲】佛瑞薛皮斯
演員【千驚萬險】梅格萊恩【刺激1995】提姆羅賓斯   
  主演：提姆羅賓斯、梅格萊恩

RSX

Jo Jo~~~

chouwu

好棒的數學題和好棒的討論
我覺得提出這個討論文的人真是好
看了這個文想到了以前唸的書及可以有另外新的想法
謝謝各位囉