[小三數學題目] 正方形屬於長方形的一種嗎？

joslo

小朋友的老師說正方形是屬於長方形的一種，讓我們這個家長覺得怪怪的，到底正方形是不是屬於長方形的一種？

VoodooMark

Originally posted by isamuplus at 2005-11-11 06:55 PM:
真要我說的話，大概是這樣吧...我不覺得這種"不連續"的定義比較好。

唉呀！連圖都出來了...B)

按我說啊！
討論這種數學問題，如果不寫出數學式是無意義的！.....

可惜我不會...

krisher

Originally posted by mirorman at 2005-11-11 21:49:

我覺得你之前的分類法過於重視"繼承"的關係了.
之前我只在物件導向的觀念中有看到在強調"繼承"的關係.

繼承的觀念應在子分類時才會有需要.

果然啊, 字打得多沒人看  
麻煩從您這篇往前算  8, 我有一篇解釋我的分類法.
然後下一篇有位朋友 quote 很重要的一句話. |)

mirorman

Originally posted by krisher at 2005-11-11 07:50 PM:
這篇怎麼又被翻出來    XD
其實, "定義" 和 "分類" 是兩回事.
分類是找出定義中有相同點再加以區分, 所以分類法討論的主題應該是 "繼承或同類關係",
而且, 依據所選定的特徵再挑出來的過程, 要先固定 "特徵" 這個變因.
好比, 狗  蟑螂 螞蟻  雞 鴨 要如何分類?
以腳數, 一種分法; 以能不能下水, 又一種; 以會不會飛, 又一種; 以動物/昆蟲, 又一種.

我覺得你之前的分類法過於重視"繼承"的關係了.
之前我只在物件導向的觀念中有看到在強調"繼承"的關係.

繼承的觀念應在子分類時才會有需要.

krisher

這篇怎麼又被翻出來    XD
其實, "定義" 和 "分類" 是兩回事.
分類是找出定義中有相同點再加以區分, 所以分類法討論的主題應該是 "繼承或同類關係",
而且, 依據所選定的特徵再挑出來的過程, 要先固定 "特徵" 這個變因.
好比, 狗  蟑螂 螞蟻  雞 鴨 要如何分類?
以腳數, 一種分法; 以能不能下水, 又一種; 以會不會飛, 又一種; 以動物/昆蟲, 又一種.

zombie

受教了，我再查查我的幾何課本，跟歐氏的幾何原本看看好了，
定義這種東西，本來就會因最初的基本條件的不同，而有所不同。
至於非歐幾何，應該不在此討論範圍內。(非歐幾何中，的凹、凸
多邊型又不一樣了。)

Originally posted by c_hong at 2005-11-11 18:44:
印象中廿年前老師是這樣教的

四邊形的定義
平行四邊形: 兩組對邊互相平行的四邊形
矩形(長方形): 四個角均為直角的四邊形
正方形: 四個邊長均相等且四個角均為直角(也就是矩形和菱形的交集)
菱形:四個邊長均相等的四邊形
鳶(箏)形: (忘記了)
梯形:恰有一組對邊平行的四邊形

我認為定義應該包括兩個要件
1.是最初定義的條件
  像平行四邊形是兩組對邊互相平行, 雖然一組對邊平行且相等的四邊形也是
  但平行四邊形的定義應該只能是兩組對邊互相平行, 而不是後來衍生的條件
2.不會有多餘的條件
  只要是平行四邊形就一定是凹四邊形
  凸四邊形不會符合上面定義的, 所以就不需要特別註明凹四邊形

isamuplus

真要我說的話，大概是這樣吧...我不覺得這種"不連續"的定義比較好。

c_hong

印象中廿年前老師是這樣教的

四邊形的定義
平行四邊形: 兩組對邊互相平行的四邊形
矩形(長方形): 四個角均為直角的四邊形
正方形: 四個邊長均相等且四個角均為直角(也就是矩形和菱形的交集)
菱形:四個邊長均相等的四邊形
鳶(箏)形: (忘記了)
梯形:恰有一組對邊平行的四邊形

我認為定義應該包括兩個要件
1.是最初定義的條件
  像平行四邊形是兩組對邊互相平行, 雖然一組對邊平行且相等的四邊形也是
  但平行四邊形的定義應該只能是兩組對邊互相平行, 而不是後來衍生的條件
2.不會有多餘的條件
  只要是平行四邊形就一定是凹四邊形
  凸四邊形不會符合上面定義的, 所以就不需要特別註明凹四邊形

Originally posted by zombie at 2005-10-28 12:40 AM:
幾何上的定義(幾何課本不在身邊，憑印像寫出來的):
凸四邊形: 平面上由四條直線構成的封閉曲面，且每一內角角度小於180度
平行四邊形: 兩組對邊互相平行的凸四邊形
矩形: 有一個內角為90度的平行四邊形
正方形: 相鄰兩邊邊長相等的矩形
菱形:相鄰兩邊邊長相等的平行四邊形
箏形:對角線互相垂直的凸四邊形
梯形:有一組互相平形的對邊的凸四邊形

凹四邊形: 有一個角大於180度的四邊形，例:迴力標....

[ Last edited by zombie on 2005-10-28 at 00:42 ]

czh

Originally posted by LSS at 2005-11-11 04:46 PM:
應該是屬於矩形或四邊型吧!

不用你再複訴答案一遍

bbknight

Originally posted by krisher at 2005-10-28 03:40 AM:
"分類法並非只有絕對的唯一". 這個很重要.

這真的是所有老師應該要教導學生的概念啊！

krisher

Originally posted by bbknight at 2005-10-27 09:40:

Krisher的解釋一目了然，
但是我有個疑問？
我記得菱形的性質(定義?)是四邊等長的平行四邊形，
因此矩形是屬於菱形的一種，
而圖表就變成：
四邊形
...+---梯形
...+---箏形
...+---平行四邊形
............+---菱形
.....................+---矩形 (長方形)
..............................+---正方形

喔. 因為這種分類法, 並不限於四邊形. 其它大於三邊的多邊形都一樣, 基本上都是 "角度先決".
梯形就是兩組同側內角互補但無相等關係; 箏形就是只有一對對角相等而無互補關係; 平行四邊形是兩對對角相同且兩對互補.
往下的子類別, 除了繼承父類別的屬性之外, 還有更嚴格的限制 (好比加上原本沒限制的長度關係).

若非角度先決, 任何四邊形都會和另一種四邊形扯上關係.  比如說梯形要是又能變角度又能變長度,
這樣梯形也有機會變成其它任何一種四邊形.
若是要長度先決, 則各種形狀並無 class 的繼承或依存關係, 變成無法分類.
由此看來, 菱形並沒有矩形可以繼承的角度特性 (甚至連長度特性都沒), 它繼承的是菱形的父類別,
故只能說菱形和矩形有同一個父類別, 但沒有相互繼承關係.
所以矩形要接在平行四邊形之下, 而和菱形有相同的父類別.

唯一一個有繼承關係, 又同時可以變角度和長度的平面多邊形, 是三邊形.

剛才發現要特別註明的地方是 "分類法並非只有絕對的唯一". 這個很重要.

irdiot

本來覺得這種題目有這麼好討論的嗎？可是點進來發現大家的討論既認真又有趣，
其實與其直接告訴小朋友是不是的答案，不如把這串討論講給小朋友聽，不管小朋友聽不聽得懂，我想他們應該都很有收穫。

zombie

幾何上的定義(幾何課本不在身邊，憑印像寫出來的):
凸四邊形: 平面上由四條直線構成的封閉曲面，且每一內角角度小於180度
平行四邊形: 兩組對邊互相平行的凸四邊形
矩形: 有一個內角為90度的平行四邊形
正方形: 相鄰兩邊邊長相等的矩形
菱形:相鄰兩邊邊長相等的平行四邊形
箏形:對角線互相垂直的凸四邊形
梯形:有一組互相平形的對邊的凸四邊形

凹四邊形: 有一個角大於180度的四邊形，例:迴力標....

[ Last edited by zombie on 2005-10-28 at 00:42 ]

小酒蟲

菱形不需要相鄰邊互相垂直。

jimber

Originally posted by bbknight at 2005-10-27 09:40:

Krisher的解釋一目了然，
但是我有個疑問？
我記得菱形的性質(定義?)是四邊等長的平行四邊形，
因此矩形是屬於菱形的一種，.................

矩形是對邊等長、四角皆為直角的四邊形。

chihhsiungchen

Originally posted by joslo at 2005-10-27 08:53 AM:



會不會老師的答案也像各位“仙貝”，結果小朋友仍是聽得一頭霧水莫宰羊

大人有大人的討論，並不衝突。

老師如果真的宰羊，對來龍去脈清清楚楚，小朋友不會聽的莫宰羊？
老師觀念不對，或是迷失概念，學生才是真的全部莫宰羊。

國小老師如果不抱著終身學習的態度，程度會漸漸向小學生看齊。

bbknight

Originally posted by krisher at 2005-10-25 01:44 AM:
長方形就是矩形啦, 這是一般性的定義.
四個直角的四邊形=矩形=長方形.
通常的定義是:
四邊形
...+---梯形
...+---箏形
...+---平行四邊形
............+---菱形
............+---矩形 (長方形)
.....................+---正方形

至於一些特化的定義, 就好比 "1 是不是數字" 一樣,
那我就不敢說了.

Krisher的解釋一目了然，
但是我有個疑問？
我記得菱形的性質(定義?)是四邊等長的平行四邊形，
因此矩形是屬於菱形的一種，
而圖表就變成：
四邊形
...+---梯形
...+---箏形
...+---平行四邊形
............+---菱形
.....................+---矩形 (長方形)
..............................+---正方形

joslo

Originally posted by krisher at 2005-10-27 01:55 AM:
這是國小啊, 不要想太深.
簡單一句話, 問他們老師"請問老師, 這個為什麼這樣", 看他怎麼解釋就好.  

會不會老師的答案也像各位“仙貝”，結果小朋友仍是聽得一頭霧水莫宰羊

krisher

這是國小啊, 不要想太深.
簡單一句話, 問他們老師"請問老師, 這個為什麼這樣", 看他怎麼解釋就好.  

f(YES)=Tel+Palm

唉啊！自己不小心把答案寫出來了～

VoodooMark

Originally posted by f(YES)=Tel+Palm at 2005-10-25 11:07 PM:


「只要等到社會上大家都會邏輯再來教邏輯，就不會找不到老師教、社會也不會反彈了」
嗯，這麼簡單的邏輯怎麼只有我想得到！

這位施主，這個問題也是得問問您自己哩！

因為：

Originally posted by f(YES)=Tel+Palm at 2005-10-25 11:07 PM:

「這種特例值在自然界(或說生活上)發生的或然率簡直等於零」。

|)|)|)

chihhsiungchen

Originally posted by lifaung at 2005-10-26 12:44 AM:
.......................述略.....
阿北,那個...大肚魚是卵胎生啦,其實還是一樣是卵生,沒有公魚的時候會丟空包彈
不過很快就會被其他魚吃掉了Orz
不是真正的胎生
家裡有繁殖紅頂孔雀,所以稍微了解一點,誤見怪

[ Last edited by lifaung on 2005-10-26 at 00:46 ]

身為走在時代先端的PIL朋友，可盡量要傳播真實，不需被舊資料舊教材牽著走。
在生物學知識上，我是不敢亂說，以真確為要。

........................................................................
大肚魚的授精卵，在母體裡面發育，看似卵胎生，其實是有吸收到母體養分，以及氣體交換，已在最近相關研究文獻裡報導，故而實際應是被歸類到胎生。

在早期即有對此類魚為胎生或卵胎生爭論不已，現既有與母體進行養分和氣體交換的證據，目前科學家已傾向支持胎生的說法。
一些早期被認為是卵胎生的鯊魚，目前也被稱為是胎生。

只是沒有胎盤的生物，冠上卵胎生之名並不當。
比較可以真確說是卵胎生者，以有硬殼卵殼的爬蟲類為例才恰當。
（水筆仔沒有胎盤，也稱為胎生植物，即是因為果實持續和母體交換養分）

沒有公魚的時候丟空砲彈，和人類女性的月經是類似情況的，這點沒什麼特別。

temp

由此可知


真是一綱多本

lifaung

這個應該從集合的概念來看比較好(不過認真說,集合的概念,玩到大學,死很難看的還是一堆
,這個就是題外話了,如果入門數學領域可以先教集合的話是會比先教幾何比
較好一點的,不過集合比較抽象,講的好的老師不多)

我比較偏好酒蟲兄的想法

正方形是菱形和長方形的交集
你可以說正方形是菱形的一種,也可以說他是長方形的一種,但僅僅是以上兩種的特例而已



考這個題目應該重點是在於邏輯,數學的精瓍再於邏輯的推演,而不是計算匠
不過問題在於當"多數老師"都是計算匠的時候,很難以教學生什麼叫做邏輯推演
如果要了解何謂邏輯,可以試著去旁聽看看大學通識教育中的"理則學"
免數學,輕鬆又簡單
--
阿北,那個...大肚魚是卵胎生啦,其實還是一樣是卵生,沒有公魚的時候會丟空包彈
不過很快就會被其他魚吃掉了Orz
不是真正的胎生
家裡有繁殖紅頂孔雀,所以稍微了解一點,誤見怪

[ Last edited by lifaung on 2005-10-26 at 00:46 ]

f(YES)=Tel+Palm

--生活講的是認知，所以正方型非常常見，多半四邊比例不會差太多的，都會被叫做正方型；差很多的就叫長方型。
不上不下的，我們就需要一個叫「方型」的含糊名詞。
講「正方型是長方型的一種」，違反了我們生活的認知，所以大家會覺得很難接受。

--數學講的是精確，所以正方型非常少見，只有四邊相等才算正方形，學理工科的比較能夠接受「這種特例值在自然界(或說生活上)發生的或然率簡直等於零」。
所以數學上沒有需要再去定義一個不清不楚的「方型」，因為這樣的定義等於是把長方形、方形共用同一個定義。既然同一定義，那就用一個名詞即可，沒必要再分另一個詞。

數學，沒有精確，會活不下去。
生活，太過精確，會活不下去。

數學是要訓練邏輯觀念用在生活上，而不是把名詞用在生活上。
「兩者的定義域有基本的不同」--這類的觀念才是數學教育真的要傳達的。

受以前填鴨教育長大的我們會問這個問題，擺明了我們沒學過數學(我們學的是「計算」)。
同樣的，自然也別期待受填鴨教育長大的我們這一代的老師能夠瞬間突然瞭解「數學=邏輯≠計算」。

教改難在哪裏？

難在…
懂邏輯的人要瞭解填鴨，很簡單。
但是要填鴨人去瞭解邏輯，比登天還難。而我們卻需要受填鴨教育長大的老師去教下一代邏輯。這真的很難！

大學可以開班重新訓練這些老師，但說老實話，人一長大，邏輯思考模式就定型了，這些老師可以學到「樣子」，但是學不到「觀念」。
由邏輯進填鴨，很簡單，一個高壓教育大家照本宣科就行了。
由填鴨進邏輯，真的是難上加難，非常的難，簡直是不可能的任務。老師不懂，不會教；社會不懂，社會會反彈。

有時想想，我們還是乖乖的填鴨孩子們計算能力好了。好教，又不會挨罵。
養好計算能力，自己不會思考，但至少人家想出來的東西，我們還能夠幫人家做代工。
只要計算能力能夠保持比電腦強，那就不會餓死。
套一句我阿嬤常講的「想那麼多幹什麼！」

「只要等到社會上大家都會邏輯再來教邏輯，就不會找不到老師教、社會也不會反彈了」
嗯，這麼簡單的邏輯怎麼只有我想得到！

[ Last edited by f(YES)=Tel+Palm on 2005-10-26 at 00:56 ]

bartslin

Originally posted by VoodooMark at 2005-10-25 11:20 AM:
(前恕刪)

如果你們家小朋友是「所有教育部長都不知道何時批淮的建構式數學」世代
那麼正方形是屬於「三角形」的一種！因為一個正方形，是由兩個等腰三角形所合併起來的。

(後恕刪)

不… 正方形應該是兩個面積相同的等腰直角三角形所合併起來的。
(當然是用最長的那邊合併)

我是不是太認真了？可是大家都這麼認真，
而且這裡不是「歡笑一籮筐」也…

krisher

這個要看小學老師"自己"的定義為準.
好比題目出12個四邊形, 然後要分類填進格子裏, 類別有 "長方形", "正方形", "梯形", "平行四邊形".
相同的題目, 不同的老師有不同的改法.
一個是, 寫進長方形, 正方形的就不能寫進平行四邊形, 寫進正方形的就不能寫進長方形;
另一個是 "長方形正方形都要寫進平行四邊形".
好死不死那是不同間學校, 月考時兩間學校也是依這樣改對錯...   Orz.

chihhsiungchen

再次說明：
我請教了一位理論物理博士，他的說法是：
題目這樣出不好，但是可以接受。

四邊形，在某些條件下會變成正方形。
像是菱形也會。

Cathy

正方形屬於長方形的一種嗎？
答：是。長方形的定義是四個角都是直角的四邊形，正方形的四個角都是直角，所以正方形是長方形的一種。

《延伸》
矩形（長方形）：四個角都是直角的四邊形。
菱形：四邊等長的四邊形。
正方形：四個邊等長且四個角都是直角的四邊形。
正方形包含於矩形（長方形），也包含於菱形，所以正方形是長方形的一種，也是菱形的一種。

建構式數學也不是這樣定義的，批評建構式數學的人當中有多少人真的了解「建構式數學」怎麼教的、教些什麼呢？

Originally posted by VoodooMark at 2005-10-25 11:20:

如果你們家小朋友是「所有教育部長都不知道何時批淮的建構式數學」世代
那麼正方形是屬於「三角形」的一種！因為一個正方形，是由兩個等腰三角形所合併起來的。 ...

krisher

Originally posted by joslo at 2005-10-25 13:05:
慢著！慢著！好像有些亂了！照字面解釋，正方型應該就是四邊等長，四角皆為90度才叫“正”方型呀！
長方型就應該是“長長的”，怎麼又可以講作長方型的特例？那麼照這樣推衍，是不是照樓上阿哥說的，長方型（或矩型）也可說成是三角型的特例呢？

沒啦, 上面那位是在諷刺時事, 沒有三角形和圓形的定義.

矩形(rectangle)和長方形(oblong)一樣, 就是:
"平面四邊形且四個角是直角". 就像 cm=公分=亳米 一樣, 只是稱呼上不同,
但指的是相同的東西.

"正方形是矩形(長方形)的特例", 就好比 "正三角形是等腰三角形的特例",
更好比 "矩形(長方形)是平行四邊形的特例" 一樣. 可以參考我上面貼的 class 關係.

小酒蟲

Originally posted by liaolc at 2005-10-24 10:15:
長方形,正方形都是矩形的一種

這可算正解，無關你是那一「梯」教育體系出身。

不過正方形亦同樣是長方形的一個子集，因為它同樣符合長方形的要求。長方形並未要求四邊不能等長，而是要求對邊需等長、相鄰邊相互垂直，因此可說「正方形是四邊等長的長方形」。

所以：「正方形是長方形的子集。」

Originally posted by czh at 2005-10-24 22:34:
正方形正不正端看你從那個角度去看他
不管從東西南北向看,他一定不正,就|驗證他是長方形的一種
只要是偏一點,由東南,南西,西北,北東看過去,他還會變梯形

正方、長方型都是二次元的平面，所以你不能拿三次元視角去解讀。B)

[ Last edited by 小酒蟲 on 2005-10-24 at 23:18 ]